Cho hình lắng trụ đúng $ABCD.A B C D $ có đáy là hình vuông cạnh $2a$ , $AA = a\sqrt{3}$ . Gọi $I$ là tâm hình chữ nhật $ABB A $ . Tính tang của góc n…

Cho lăng trụ đúng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a, chiều cao AA' = 3a.

Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0;2a;0), C(2a;2a;0).

Vì AA' = 3a nên: A'(0;0;3a), B'(2a;0;3a) .

I là tâm hình chữ nhật ABB'A' nên: $I(a;0;\frac{3a}{2})$ .

Cần tính tang của góc nhi diện $[I, AC, D]$ , tức là góc giữa hai mặt phẳng (IAC) và (DAC) theo cạnh AC.

Ta có: $\overrightarrow{AC}=(2a;2a;0)$ , $\overrightarrow {A I} = (a; 0; \frac {3 a}{2}).$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (IAC) là: $\vec{n}_{1} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AI}$ .

Bổ hệ số $a^{2}$ , ta được: $\vec{n}_{1}=(3;-3;-4)$ .

Mặt phẳng (DAC) chính là mặt phẳng đáy, nên một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_{2} = (0;0;1)$ .

Khi đó: $\cos \varphi = \frac{\vec{n}_1.\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|.|\vec{n}_2|} = \frac{-4}{\sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-4)^2}} = \frac{-4}{\sqrt{34}}.$

Suy ra: $\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - \frac{16}{34}} = \sqrt{\frac{18}{34}} = \frac{3}{\sqrt{17}}.$

Do đó: $\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\frac{3}{\sqrt{17}}}{\frac{-4}{\sqrt{34}}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\approx-2,1$ .